环同态论文(环的同态与反同态)
1. 环的同态与反同态
设E与F为两个群胚，两个幺半群，两个群，两个环，两个向量空间，两个代数或两个酉代数。称从E到F中的映射f是同构，如果f有逆映射，并且f与f-1是两个同态。
2. 环的同态与反同态定义
单位又被称为可逆元。在数学里，于一(有单位的)环 的可逆元，即一元素 内的 ，其中 是 的可逆元组成了一于乘法下的群的可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成R*或R×。
在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。
U是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。
一个环R是一个除环当且仅当R* = R {0}。
3. 群同态和环同态区别
环的同态基本定理
(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环S
R 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈?， 称为R 到S
R 的自然同态； (2) R ，R '是环，?是环R 到环R '的满同态，令?Ker K =，则商环K R 与环R '
同构．
证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．
故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又
()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，
即η是满同态．
(2) 首先，作为像集合()()a K a ??=+．这是因为K 中任一元k 在?下的像为零，则
()()()()()a a k a K a ?????=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射
R S
R '?→?? ()()a K a K a ??=++ ．
又
()()K b K a +++ψψ
＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψ???
＝()()()K b K a +++ψ，
()()K b K a ++ψψ
＝()()()()K ab ab b a +==ψ???
＝()()()K b K a ++ψ，
4. 环同态怎么求
设R是一个有1的环, 则存在唯一的环同态φ: Z → R, 满足φ(1) = 1.ker(φ)作为Z的理想, 存在非负整数n, 使ker(φ) = (n), 称n为环R的特征.当R = Z, φ: Z → R是恒等映射, 因此ker(φ) = {0} = (0), 故整数环Z的特征为0.定义虽然抽象, 也可以相对具体的理解:在R中考虑序列: 1, 1+1, 1+1+1,...若序列中有0, 则R的特征为首次得0的项数, 即最小的相加得0的次数.若序列中没有0, 则R的特征为0.当R = Z, 上述序列即1, 2, 3,..., 其中没有0, 故Z的特征为0.
5. 环的同态映射
单位又被称为可逆元。在数学里，于一(有单位的)环 的可逆元，即一元素 内的 ，其中 是 的可逆元组成了一于乘法下的群的可逆元群。可逆元群U(R)有时亦被标记成R*或R×。
在一可交换单作环R内，可逆元群U(R)以乘法作用于R上头。此一作用的轨道(orbit)被称为结合集合；换句话说，存在一于R上的等价关系 ~ ，且当r~s时，表示存在一可逆元u使得r=us。
U是一由环范畴至群范畴的函子：每一个环同态 f : R → S 都可导出一群同态U(f) : U(R) → U(S)，当f会将可逆元映射至可逆元时。此一函数子有为整数群环结构的左伴随。
一个环R是一个除环当且仅当R* = R {0}。
6. 环的同态证明题及其答案
抽象代数理想是指在某个环中对于某种运算封闭的子集，且满足加法和乘法的结合律、分配律以及有乘法单位元存在且任何元素都存在相反元素。这个子集一般表示为I，可以通过以下方式描述：对于环R的元素a和b，若存在i∈I满足a+i=b，则称b可以被a在I中左消。若存在i∈I满足a+i=b，则称b可以被a在I中右消。若a和b都可以被对方在I中左消和右消，则称a和b在I中关于加法和乘法等价。理想在抽象代数中有着重要的地位，是研究环、域、群等代数结构的基础。
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