解析几何产生的时代背景是什么?
随着工业革命的开展，机器大生产取代手工劳动。对机器的需求量大增，机器的生产制造需要把几何形体与数学结合起来，实现几何的精确运算，从而产生出精密的机器设备。由此解析几何应运而生。
数学解析几何
上面回答的很好也很全面，我只补充两点：
1.此类问题如果求关于x,y的整式的范围参数法最佳；如果求关于x,y的分式的范围可能转化为（非）线性规划（可行域是椭圆的）更为简单。
2.如果条件不是封闭曲线，而是直线、双曲线或抛物线的话，还要关注一下X,Y的取值范围。也就是检验一下。
什么是解释几何
解析几何是数学中最基本的学科之一，也是科学技术中最基本的数学工具之一。 十七世纪初，法国数学家迪卡儿和费马首先认识到解析几何学产生的必要和可能。他们通过把坐标系引入几何图形中，将几何的基本元素—点，与代数的基本研究对象—数对应起来，从而将几何问题转化为代数问题，将曲线或曲面转化为方程、函数进行解决。由于变量数学的引进，大大地推动了微积分的发展，使整个数学学科有了重大进步，也那次解析几何的产生，可说是数学发展史上的一次飞跃。 现代解析几何的研究方法是多样的，除了坐标法，还有向量法等，研究对象也不仅仅是简单的二维三维的情况，而是更广泛的内容了。
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