解析几何能解哪些题？

哈哈，解析几何是代数与几何的结合体。

你说的应该是解析法。

解析法是利用代数的方法来解决几何问题。

指建立坐标系利用坐标来进行运算。

这些都是数学的低级表现形式。

解析几何在高中阶段主要就是圆锥曲线(抛物线，椭圆，双曲线，圆)和直线这几种图形的证明求值。

圆锥曲线在纯几何证明阶段的主要性质都是阿波罗尼斯证明得出的，之后笛卡尔提出坐标系的概念才将圆锥曲线放在了坐标系中，实现数形结合，得到的结论也是越来越多。

高考中主要以压轴题形式考察求椭圆离心率，求圆锥曲线方程，求相关三角形面积，求线段长度，求线段比值等等

几何证明辅助线很难，应该如何去思考和分析？

我是中考数学当百荟，从事数学教学三十多年。

针对题主的提问，先厘清一个认识上的误区，再结合具体例子谈如何思考和分析。

一。一个误区类似问题，在实际工作中，经常有学生和家长问：老师，我（家小孩）不怕几何证明，就怕作辅助线，是怎么回事？

就像一个学美术的人说，我不怕画人体，就是怕画眼睛。

如果把辅助线孤立于具体问题之外，就会以为辅助线是活生生硬作出来的，这是初学者容易产生的认识误区。

在实际教学中，没有哪个老师会孤立地教学生作辅助线。因为辅助线就是“一条线”，画一条线，没有什么难的。况且从本质上说，辅助线本身是客观存在的，画不画它都在，一直在那。只不过在画出来之前，它是隐性的，不可见而已。由隐性变显性，是要有数学思维参与的，是一系列的心理活动。

可见辅助线的问题，重点不在如何画？而在于为什么要这么画？因而，学会具体问题具体分析，理解产生问题的原因，找到解决问题的办法，才是学习的正道。从这个角度来说，辅助线不是作出来的，而是分析出来的！

二。一个例子举一个大家熟悉的例子吧！

勾股定理的证明。历史上关于勾股定理的证明方法有近五百种之多，这些方法都堪称经典。我们以欧式几何的鼻祖，欧几里得的证明方法为例，来分析其策略和思路，学习他解决问题的机智！

---图1---

如上图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，求证：AC^2+BC^2=AB^2.

欧几里得证明的主要思路分三步：

第一步，从勾股定理结论的结构分析，边的平方，边的平方和。

边的平方，让人很容易联想到正方形的面积；边的平方和，自然就是两个正方形的面积之和。因而，把勾股定理进一步具象化（如图）：两个正方形的面积之和，等于另一个正方形的面积。

看下图2用颜色表示，即：黄+红=绿。

---图2---

在这一过程中，把边的平方具象为正方形，由数（边的平方）到形（正方形），好像只是一小步转换，其实是认识上的一大步（数形结合）！当然，对于本问题来说，这还只是万里长征的第一步。如果仅从添加辅助线的角度来看，这一步要添加三三得九，九条辅助线，才能把“三边”扩充为“三个正方形”。

勾股定理的近500种证法，大多数都是沿用这条思路：先将勾股定理的结论转化为三个正方形的面积之间的关系，再对其中的两个较小的正方形进行分割，使之“填满”较大的正方形，反之亦然。只不过这些方法采用的“分割”和“填充”的方式、方法不同。表面看起来是一种巧合，其实是一种必然。

第二步，落实“分割“的具体想法。

---图3---

如上图3，将大正方形沿直角三角形斜边上的高CD所在直线，分割成两个矩形（黄，红）；用颜色相对应，只要说明颜色相同的正方形和矩形面积相等，就说明大正方形（图2的绿色）刚好被两个较小的正方形（黄，红）“填满”；

第三步，落实“填充“的具体想法。

---图4---

以说明黄色正方形与黄色矩形面积相等为例。

如图4，进一步将黄色正方形与黄色矩形分割成二等分（连对角线A1C,AD1）,只需说明它们的一半（蓝色三角形,△A1AC与△AA2D1）面积相等即可；

如图5，进而只需证明两个黑色的三角形（△A1AB与△CAA2）全等（SAS可判）即可；

---图5---

因为图5中的两个黑色三角形与图4中两个蓝色三角形分别为夹在两组平行线（BC1//AA1,CD1//AA2）之间，且同底等高，其面积分别相等。

至此，思路打通！

其主要逻辑链条：黑色三角形全等=》黑色三角形等面积

=》蓝色三角形等面积=》黄色正方形与矩形等面积。

采取同样的策略，可以证明红色正方形与红色矩形面积相等。

三。一点反思从以上的举例可以看出：

1.仅仅从添加辅助线的角度来说，由最开始的一个直角三角形（图1）演变成图6所示的超级复杂的图形，不知添加了多少条线！如果不经过分析明细思路，这些“线”是不可能现出原形的。欧几里得的这种证明方法，迄今已经2000多年，即便在今天，在此时，我们如果不能明白其证明思路，这些辅助线看起来也只能是一团乱麻。

---图6---

所以，既然是辅助线，必然是其辅助作用，在证明过程中是联通条件与结论的桥梁。它不能游离于具体问题之外，也不是凭空产生的，必然来源于具体问题具体分析。

2.在几何证明过程中，添加辅助线本身就是证明过程的一部分。是作平行线还是垂线，是平移还是旋转，添加什么样的“线”，何时添加，这取决于分析问题的能力。所以，与其纠结辅助线的作法，不如回过头来，夯实基本功，多做题，善分析，勤总结。这才是学习几何证明的正道。

欧几里得平面几何是我中学时代相当拿手的课，在我漫长的奥数生涯里一直是稳稳的分仓。

刚上初一时父亲给了我一本严济慈老先生的“几何证题法”，是我学习几何的开始。实际上也是我父亲早年学习几何的参考书。出于怀旧的原因，在此安利一下。

平面几何的证明题里，辅助线是比较难的，因为没有必然性，初学者很难把握，即使老手也时常感到难以下手。

但基本的思路还是有的，抽象的来说，几何证明的一个关键在于找到“等价量”的转换，另一个关键是为武器找到用武之地（有锤子找钉子）。所以常规的思路通常有：

- 复制等角/等边。

- 构造直角三角形，共圆，相似性。

- 更高阶一点的是构造反演和射影（这个除了竞赛一般用不到）。

所以辅助线的套路一般是：

- 平行线。

- 垂线。

- 切线。

- 切圆。

- 对称。

- 旋转60⁰。

- …

不过正如前述，辅助线并无必然性，所以没有老师可以给出一套包治百病的“修行手册”。

我的建议是不要缘木求鱼，钻辅助线的牛角尖，相反，扩充武器库更重要，手枪比“辟邪剑法”更有效。

中学几何的高阶武器就是几何的代数化。有两个入门级武器：

1. 三角函数/复数，实际上我会强烈推荐复数，因为复数包含了三角函数的一切，而且更简洁，几乎没有公式要背（三角公式在复数运算里都是显而易见的），而且复数可以非常非常简明的描述几何中跟旋转相关的性质。

2. 笛卡尔坐标系下的解析几何，把几何问题转换为函数和方程问题，后者的武器库很庞大，“可扩展性”比单纯的几何方法大很多。

当然等你上到大学，就会看到更多的高阶武器，特别是矩阵，几乎秒杀一切“线性几何”，当然还有抽象代数和微积分。

举个例子，很多人听说过高斯的故事，关于他解决尺规17等分圆的。现在网上有时也能看到其步骤的动图。

但我要指出，这对于学生来说，这种动图是“非常坏”的，它完全把人带入邪路。

没有人能想出那些步骤（辅助线），高斯也不能，实际上他压根就没画一张图，没做一条辅助线。

尺规17等分圆，高斯是用一个欧几里得所不知晓的高阶武器去杀死的。

首先，不难证明，已知量（线段）的+-*/四则运算和√，都是容易用尺规完成的。

其次，高斯注意到17等分圆等价于求解复数方程：

z¹⁶=z⁻¹，或写成：

（cosθ+i*sinθ）¹⁶=cosθ-i*sinθ。

进一步，高斯解出这个复数方程，并发现其解确实由+-*/√五个运算复合构成。因此，尺规可做。

所以，我们看到的动图不过是把高斯找到的复数解的每步运算不厌其烦的罗列出来而已。纠结于这些步骤完全无助于提高数学水平。本末倒置。

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