逆矩阵论文(逆矩阵及其应用研究论文)
1. 逆矩阵及其应用研究论文
逆矩阵的转置矩阵一定可逆，且等于原矩阵的逆的转置，即如果a可逆，则(a')^(-1)=(a^-1)'。
扩展知识
逆矩阵的性质
性质1：如果A、B是两个同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)–1=B–1A–1。
性质2：如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵A–1也可逆，且(A–1)–1=A。
性质3：如果A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且(kA)–1=A–1。
性质4：如果矩阵A可逆，则A的转置矩阵AT也可逆，且(AT)–1=(A–1)T。
性质5：:矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
2. 逆矩阵的应用论文
可以按下面方法步骤进行：
第一步matlab中求逆矩阵是用inv函数，打开matlab命令行窗口，输入help inv，可以看到求逆矩阵的函数用法
第二步下面来求一下逆矩阵，输入A=[1 2 4;5 7 9;8 3 5]，创建一个3行3列的方矩阵
第三步输入inv(A)，进行求A矩阵的逆矩阵，按回车键之后，可以看到求出了A矩阵的逆矩阵
第四步我们也可以通过A^-1来求逆矩阵，输入A^-1
第五步按回车键之后，可以看到已经求出A矩阵的逆矩阵了，根据需要使用
3. 逆矩阵的研究背景及意义
设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
4. 逆矩阵求法研究的论文
首先用待定系数法，求矩阵的逆阵。
举例：
矩阵A=
1 2
-1 -3
假设所求的逆矩阵为
a b
c d
则
从而可以得出方程组
a+2c=1
b+2d=0
-a-3c=0
-b-3d=1
解得
a=3
b=2
c=-1
d=-1
4
所以A的逆矩阵A⁻¹=
3 2
-1 -1
扩展资料：
关于逆矩阵的性质：
1、矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
2、可逆矩阵一定是方阵。
3、如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
4、可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5. 矩阵的逆论文
根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方
程组的需要而产生的。
然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的《九章算术》一书中
已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际
问题，所以没能形成独立的矩阵理论。
1850年，英国数学家西尔维斯特 (SylveSter，1814--1897)在研究方程的个
数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩
阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱 (Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变
量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在《矩阵论的研究报
告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，
定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩
阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法
有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、
对称阵、反对称阵等概念。
1878年，德国数学家弗罗伯纽斯 (Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引
入了λ 矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ 矩阵等价
当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879
年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念.
矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20
世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、
机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支
6. 矩阵逆的计算方法及其应用论文
第一种：高斯消元法
高斯消元法是最经典也是最广为人知的一种矩阵求逆方法，但是在现实应用中很少用到高斯消元法来进行矩阵的逆矩阵的求解。（考试或者手算会用到）
高斯消元法有两个版本：行变换版本与列变换版本，在日常应用中行变换应用的更广泛。这两个基本原理都是相同的。
高斯消元法先将矩阵A与单位矩阵I进行连接形成一个新的增广矩阵.
上面的方法在中学比赛或者是考研经常用这种方法，手算一下。
第二种：LU分解法
LU分解法其实是高斯消元法的一种变种算法。LU分解是将矩阵A分解为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。所谓的三角阵就是一半为零的矩阵。L是下三角矩阵(Lower TriangularMatrix)，即主对角线以上的元素全部都是0的矩阵。U是上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)，即主对角线以下的元素全部都是0的矩阵。
然LU分解是高斯消元法的一种表现形式，但是相对于高斯消元法，LU分解更易于实现并行化。计算机基本用这种方法。比如求 50000*50000的这种大型矩阵。
第三种：SVD分解法
SingularValue Decomposition分解法也叫做奇异值分解，也是线性代数中十分重要的矩阵分解法，同样的能用来求解矩阵的逆矩阵。不同于LU分解中将矩阵A分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，SVD分解将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，分别为：正交矩阵U、对角矩阵W以及正交矩阵V的转置矩阵V.
第四种：QR分解法
QR分解同样将原始矩阵A分解为两个矩阵的乘积，不同的是这两个矩阵分别为正交矩阵Q和上三角矩阵R。
7. 逆矩阵的研究现状
一、线性代数中的矩阵的转置和矩阵的逆矩阵有2点不同：
1、两者的含义不同：
（1）矩阵转置的含义：将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列等，最末一行变为最末一列， 从而得到一个新的矩阵N。 这一过程称为矩阵的转置。即矩阵A的行和列对应互换。
（2）逆矩阵的含义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
2、两者的基本性质不同：
（1）矩阵转置的基本性质：(A±B)T=AT±BT；(A×B)T= BT×AT；(AT)T=A；(KA)T=KA。
（2）逆矩阵的基本性质：可逆矩阵一定是方阵。如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。
二、矩阵的转置和逆矩阵之间的联系：矩阵的转置和逆矩阵是两个完全不同的概念。转置是行变成列列变成行，没有本质的变换，逆矩阵是和矩阵的转置相乘以后成为单位矩阵的矩阵。
扩展资料：
一、逆矩阵的其它性质：
1、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
2、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
3、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
二、逆矩阵性质的证明：
1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C。
2、假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
4、矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
5、在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O，而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。
6、由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。得B-C=O，即B=C。
8. 逆矩阵的实际应用实例
1、矩阵在经济生活中的应用矩阵就是在行列式的基础上演变而来的，可活用行列式求花费总和最少等类似的问题；可借用特征值和特征向量预测若干年后的污水水平等问题；也可利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解，求解企业生产哪一种类型的产品，获得的利润最大。
2、在人口流动问题方面的应用这是矩阵高次幂的应用，比如预测未来的人口数量、人口的发展趋势等。
3、矩阵在密码学中的应用可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。
4、矩阵在文献管理中的应用在现代搜索中往往包括几百个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和向量的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。扩展资料：矩阵图法的用途十分广泛，在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题：1、把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点； 2、明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠； 3、明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率； 4、当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除。
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